Cho \(M=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\)
Chứng minh rằng:
a. Nếu a, b, c là cạnh tam giác thì M > 1
b. Nếu M = 1 thì 2 trong 3 phân thức = 1 và 1 phân thức còn lại = -1
Cho \(M=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\frac{c^2+a^2-b^2}{2ac}\)
Chứng minh rằng
a) Nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì M>1
b) Nếu M=1 thì hai trong ba phân thức đã cho của M=1, phân thức còn lại bằng -1
tham khảo: Câu hỏi của Nguyễn Thùy Trang
https://olm.vn/hoi-dap/detail/240354680477.html
Cho 3 số a, b, c khác 0 thỏa mãn \(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}+\frac{b^2+a^2-c^2}{2ab}=1\) 1 Chứng minh rằng trong ba phân thức trên có 2 phân thức bằng 1 còn phân thức còn lại bằng -1
M=
\(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\frac{c^2+a^2-b^2}{2ac}>1\)
Nếu M=1 thì 2 trong 3 phân thức đã cho bằng 1 và hai phân thức còn lại =-1
Mẹ cái thằng khánh kia ko làm thì thôi nha
dạ phải như em mới học lớp 6 à hjhj
Cho đẳng thức : \(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\frac{c^2+a^2-b^2}{2ac}+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=1\left(1\right)\)
Chứng minh rằng ba phân thức vế trái thì có 2 phân thức bằng +1 và một phân thức bằng -1.
Đặt \(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=A,\frac{c^2+a^2-b^2}{2ac}=B;\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=C.\)
Theo giả thiết : \(A+B+C=1\)
Suy ra \(S=\left(A-1\right)+\left(B-1\right)+\left(C+1\right)=0\)
\(A-1=\frac{\left(b-c-a\right)\left(b-c+a\right)}{2bc};\)
\(B-1=\frac{\left(a-c-b\right)\left(a-c+b\right)}{2ac};\)
\(C+1=\frac{\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)}{2ab}\)
\(S=\frac{a+b-c}{2abc}\left[c\left(a+b+c\right)+b\left(a-c-b\right)+a\left(b-c-a\right)\right]\)
\(S=0\Rightarrow\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)=0\)
Có 3 khả năng xảy ra :
TH1 : \(a+b-c=0\Rightarrow A-1=B-1=C+1=0\left(đpcm\right)\)
TH2 :
\(b+c-a=0\).Ta xét : \(A+1=B-1=C-1=0\left(đpcm\right)\)
TH3:
\(c+a-b=0\). Ta xét : \(S=\left(A-1\right)+\left(B+1\right)+\left(C-1\right)=0\)
và \(\Rightarrow A-1=B+1=C-1=0\left(đpcm\right)\)
Cho \(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\frac{c^2+a^2-b^2}{2ab}=1\)
a, Chứng minh rằng trong 3 số a,b,c có một số bằng tổng hai số kia .
b, chứng minh rằng trong 3 phân thức có một phân thức bằng -1 hai phân thức còn lại bằng 1
a. ĐK: a, b, c khác 0.
\(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\frac{c^2+a^2-b^2}{2ac}=1\)
\(\Leftrightarrow\left[\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}-1\right]+\left[\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2-c^2}{2ab}+\frac{1}{2c}\left[\frac{c^2-\left(a^2-b^2\right)}{b}+\frac{c^2+\left(a^2-b^2\right)}{a}\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2-c^2}{2ab}+\frac{1}{2c}\left[\frac{c^2\left(a+b\right)-\left(a^2-b^2\right)\left(a-b\right)}{ab}\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2-c^2}{2ab}+\frac{\left(a+b\right)\left(c^2-\left(a-b\right)^2\right)}{2abc}=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(a-b\right)^2-c^2\right]\left(1-\frac{a+b}{c}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b-c\right)\left(a-b+c\right)\left(c-a-b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a=b+c\)hoặc \(b=a+c\)hoặc \(c=a+b\).
b) Không mất tính tổng quả. G/s: a = b + c
Khi đó ta có:
\(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{\left(b+c\right)^2+b^2-c^2}{2\left(b+c\right)b}=1\)
\(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{b^2+c^2-\left(b+c\right)^2}{2bc}=-1\)
\(\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}=\frac{c^2+\left(b+c\right)^2-b^2}{2\left(b+c\right)c}=1\)
=> Điều phải chứng minh.
Cho biểu thức 
Chứng minh rằng :
a) Nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giá thì M > 1
b) Nếu M =1 thì 2 trong ba phân thức đã cho của biểu thức M bằng 1, phân thức còn lại bằng -1
bt \(M=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\frac{c^2+a^2+b^2}{2ca}\)
cho a,b,c khác nhau, cmr nếu:
\(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\frac{c^2+a^2-b^2}{2ac}+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=1\)
thì hai phân thức có giá trị là 1 và một phân thức có giá trị -1
\(ĐK:a,b,c\ne0\)
Ta có: \(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=1\)\(\Leftrightarrow\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+1\right)+\left(\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}-1\right)+\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}-1\right)=0\)\(\Leftrightarrow\frac{\left(b+c\right)^2-a^2}{2bc}+\frac{\left(c-a\right)^2-b^2}{2ca}+\frac{\left(a-b\right)^2-c^2}{2ab}=0\)\(\Leftrightarrow\frac{\left(b+c-a\right)\left(b+c+a\right)}{2bc}+\frac{\left(c-a-b\right)\left(b+c-a\right)}{2ca}-\frac{\left(a-b+c\right)\left(b+c-a\right)}{2ab}=0\)\(\Leftrightarrow\left(b+c-a\right)\frac{a\left(a+b+c\right)+b\left(c-a-b\right)-c\left(a-b+c\right)}{2abc}=0\)\(\Leftrightarrow\frac{\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)}{2abc}=0\)
Trường hợp 1: \(b+c-a=0\)thì
+) \(\frac{\left(b+c\right)^2-a^2}{2bc}=\frac{\left(b+c-a\right)\left(a+b+c\right)}{2bc}=0\Rightarrow\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=-1\)
+) \(\frac{\left(a-b\right)^2-c^2}{2ab}=\frac{\left(a-b-c\right)\left(a+c-b\right)}{2ab}=0\Rightarrow\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=1\)
\(\Rightarrow\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}=1\)
Điều này chứng tỏ có hai phân thức có giá trị là 1 và một phân thức có giá trị -1
Trường hợp 2: \(c+a-b=0\) thì
+) \(\frac{\left(a-b\right)^2-c^2}{2ab}=\frac{\left(a-b-c\right)\left(a+c-b\right)}{2ab}=0\Rightarrow\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=1\)
+) \(\frac{\left(c+a\right)^2-b^2}{2ca}=\frac{\left(c+a-b\right)\left(c+a+b\right)}{2ca}=0\Rightarrow\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}=-1\)
\(\Rightarrow\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=1\)
Điều này cũng chứng tỏ có hai phân thức có giá trị là 1 và một phân thức có giá trị -1
Trường hợp 3: \(a+b-c=0\)
+) \(\frac{\left(c-a\right)^2-b^2}{2ca}=\frac{\left(c-a-b\right)\left(c-a+b\right)}{2ca}=0\Rightarrow\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}=1\)
+) \(\frac{\left(a+b\right)^2-c^2}{2ab}=\frac{\left(a+b-c\right)\left(a+b+c\right)}{2ab}=0\Rightarrow\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=-1\)
\(\Rightarrow\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=1\)
Điều này cũng chứng tỏ có hai phân thức có giá trị là 1 và một phân thức có giá trị -1 (đpcm)
cho mình hỏi tại sao từ
\(\left(b+c-a\right)\cdot\frac{a\left(a+b+c\right)+b\left(c-a-b\right)-c\left(a-b+c\right)}{2abc}=0\)
lại có thể suy ra được
\(\frac{\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)}{2abc}=0\) vậy ?
cho
\(\frac{a^2+b^2+c^2}{2ab}\)+\(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)+\(\frac{c^2+a^2-b^2}{2ac}\)= 1
CMR
a, trong 3 số a,b,c có 1 số bằng tổng 2 số kia
b, trong 3 phân thức ở vế trái có 1 phân thức bằng -1 và 2 phân thức còn lại bằng 1
b/ không mất tính tổng quát ta giả sử: a = b + c thì
\(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{b^2+2bc+c^2-c^2}{2\left(b+c\right)b}=\frac{2b^2+2bc}{2b^2+2bc}=1\)
Tương tự
\(\frac{c^2+a^2-b^2}{2ac}=\frac{2c^2+2ac}{2c^2+2ac}=1\)
\(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{-2bc}{2bc}=-1\)
Vậy trong ba số luôn có 2 số = 1 và 1 số = - 1
\(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}+\frac{-a^2+b^2+c^2}{2bc}+\frac{a^2-b^2+c^2}{2ca}=1\)
\(\Leftrightarrow a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b-2abc-a^3-b^3-c^3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a=b+c\)hoặc \(b=a+c\)hoặc \(c=a+b\)
Vậy trong 3 số có 1 số bẳng tổng 2 số kia
